چند وجهی های منتظم۲

برای رسم چند ضلعی های منتظم، هیچ محدودیتی نداریم و می تونیم هر تعداد که خواستیم چند ضلعی رسم کنیم.

یکی از مسائلی که در زمینه رسم این نوع از چند ضلعی ها مطرحه، اینه که آیا میشه چند ضلعی ها ی منتظم رو فقط با استفاده از خط-کش* و پرگار رسم کرد؟

-----------------------------------------------------------

پ.ن: منظور از خط-کش، خط کش غیر مدرجه که فقط میشه باهاش خط کشید و نمیشه طول رو بوسیله اون اندازه گرفت.

این مساله که به ازای چه n هایی میشه n-ضلعی های منتظمی رو با پرگار و خط-کش رسم کرد؟، سال ها به حیات خودش ادامه داد، تا اینکه در قرن نوزدهم، گاوس، جواب این مساله رو پیدا کرد.

قابل توجه اول خودم و بعد دوستان، گاوس این مساله رو در نوجوونی حل کرده!!!

گذشته از اینا، گاوس ثابت کرد که یه n ضلعی منتظم رو با پرگار و خط-کش میشه رسم کرد اگر و فقط اگر اون n به شکل زیر باشه:

 

حالا این P_i ها چی هستن؟

اینها اعداد اول فرما هستن.

اعداد اول فرما، اعداد اولی هستند که از فرمول پایین بدست میان:

با عددگذاری در فرمول های بالا به راحتی می بینیم که 3ضلعی،4ضلعی،5ضلعی،6ضلعی،8ضلعی های منتظم و ... قابل رسم به وسیله ی پرگار و خط کش هستند، اما 7 ضلعی رو نمی تونیم با این دو وسیله رسم کنیم.

یه نکته تاریخی هم اینجا بگم؟

گاوس ثابت کرد که میشه 17 ضلعی منتظم رو با این روش رسم کرد، و به خاطر این موضوع تا آخر عمر به خودش افتخار می کرد و حتی وصیت کرده بود که روی قبرش 17 ضلعی منتظم رو حکاکی کنن (اما سنگ تراشی که سنگ قبرشو تراش داد، قبول نکرد که این کار رو انجام بده، واسه اینکه یه وقت مردم فکر نکنن که اون می خواسته دایره حکاکی کنه و بلد نبوده و شده 17 ضلعی! و به خاطر این خودخواهی گاوس به آرزوش نرسید)

درباره ی اینکه n پایان پذیره یا نه، اطلاعاتی نداریم، اما می دونیم اگه بشه 4 ضلعی منتظم رسم کرد، مطمئنا میشه 8ضلعی رو هم رسم کرد. پس ضرایب n هم قابل رسم هستند.

بنابراین ما می تونیم بی نهایت nضلعی منتظم فقط و فقط با پرگار و خط-کش رسم کنیم.

ان شاء الله ادامه دارد...